Fils de restaurateurs juifs d'origine espagnole, Richard Anconina quitte l'école après un CAP d'électromécanicien. S'orientant vers la comédie, il fait sa première apparition sur les écrans en 1977 dans Comment se faire réformer et décroche l'année suivante un rôle dans la pièce Notre-Dame de Paris de Robert Hossein. Mais le grand public le découvre surtout dans Inspecteur la bavure (1980) de Claude Zidi et Le Bar du téléphone, qui voit également les débuts d'un autre jeune acteur français, Christophe Lambert. Les deux hommes, devenus amis, se donneront à nouveau la réplique dans Paroles et musique (1984) et la comédie "canine" Hercule et Sherlock (1996).

En 1983, c'est la consécration : sa prestation de jeune malfrat aux côtés de Coluche dans Tchao pantin lui vaut les César du Jeune espoir et du Meilleur second rôle masculin. Désormais tête d'affiche, il côtoie d'égal à égal Sabine Azéma dans le thriller Zone rouge (1985), Michel Boujenah dans la comédie David et Goliath (1987) et Anémone dans la romance Envoyez les violons (1988), avant d'être nommé au César du Meilleur acteur en 1989 pour Itinéraire d'un enfant gâté de Claude Lelouch. Autre récompense : en 1991, il décroche la Mention spéciale du jury au Festival de Berlin ainsi que le Prix Louis Delluc pour Le Petit criminel de Jacques Doillon.

Malgré ces récompenses, Richard Anconina entame dans les années 90 une traversée du désert qui prendra brusquement fin en 1997 avec le succès triomphal de La Vérité si je mens ! Fort de ce come-back réussi, il reprendra trois ans plus tard son rôle de vendeur de tissu du Sentier dans la suite La Vérité si je mens ! 2 (2001), toujours signée Thomas Gilou. Entre-temps, on le voit s'essayer au polar avec Six-pack (2000) d'Alain Berberian et Gangsters (2002) d'Olivier Marchal. Prêtant sa voix au chien animé Volt, il s'illustre également dans des rôles de coach pour Alive (2004) et Dans les cordes (2005), où il campe un entraîneur de boxe. En 2010, il rejoint le casting du Camping 2 de Fabien Onteniente et s'engage officiellement sur le projet de La Vérité si je mens 3.