Né de parents islandais, Sverrir Gudnason se passionne depuis tout petit pour le théâtre et monte avec ses camarades de classe plusieurs pièces. Il ne tarde pas à être remarqué par un employé du théâtre de Reykjavik qui le pousse à auditionner pour se glisser dans la peau du personnage principal de "Lumière du Monde" de Halldór Laxness. Le garçon de dix ans obtient le rôle et la pièce est à l'affiche pendant plus d'un an dans la capitale islandaise.

Sverrir Gudnason poursuit sa formation théâtrale en Suède lorsqu'il déménage à Stockholm à ses 12 ans quand son père est nommé professeur à l'institut royal de technologie de la ville. Après le lycée, il commence à obtenir des rôles à la télévision, comme dans les séries Sexton (1996 - 1997), Stora teatern (2002) et Cleo (2003). C'est toutefois grâce à How Soon Is Now ? (2007), série se déroulant dans la ville suédoise de Göteborg entre 1966 et 1976 et suivant le parcours de quatre jeunes dans un contexte de protestation politique, que sa notoriété s'accroît. En 2009 - 2010, il est également remarqué dans la deuxième saison de la série de films policiers suédois, Wallander : Enquêtes criminelles, inspirés des romans de l'écrivain Henning Mankell.

Côté cinéma, Sverrir Gudnason obtient plusieurs rôles dans des films suédois depuis ses premiers pas au début des années 2000, parallèlement à ses apparitions dans des séries. Il apparaît ainsi dans Secrets de famille, Sprickorna i muren, 6 Points ou encore Den utvalde. En 2009, sa prestation dans la comédie dramatique déjantée Original est récompensée au Festival International du Film de Shanghai. Le comédien reçoit par la suite deux Guldbagge Awards, le premier pour son personnage dans le biopic Valse pour Monica (2014) et le second pour le thriller Flugparken (2015) dans lequel il campe un ancien joueur de hockey confronté à la disparition de son meilleur ami.

En 2016, les choses s'accélèrent au niveau international lorsque Sverrir Gudnason tient le rôle masculin principal de A Serious Game, dans lequel il joue un jeune journaliste qui tombe amoureux de la fille d'un artiste peintre dans une époque peu propice à la passion amoureuse. Un an plus tard, il fait face à Shia Labeouf dans Borg/McEnroe où il incarne ni plus ni moins que le légendaire joueur de tennis Björn Borg. Un rôle ambitieux qu'il a d'abord penser refuser compte tenu du fait qu'il ne connaissait quasiment pas le tennisman et de l'importance de cette personnalité, mais qu'il a finalement accepté après s'être documenté sur lui.

Pour incarner cette icône des pays nordiques, Sverrir Gudnason, qui n'avait jamais pratiqué le tennis, s'est entraîné à ce sport pendant six mois à raison de deux heures par jour. "On avait parfois des doublures pour le film, mais c'était souvent nous, on s'est beaucoup entraîné pour ça, Shia LaBeouf s'est même cassé un orteil ! On faisait du "shadow tennis", on reproduisait les mouvements exacts, les courses, les coups, mais sans les balles qui étaient rajoutées en CGI", se rappelle-t-il.