Anson Boon grandit dans un petit village du Cambridgeshire, en Angleterre, au sein d'une famille éloignée du monde du spectacle. Sa mère travaille dans le milieu bancaire et son père évolue dans le secteur de la vente, tout en lui transmettant un intérêt marqué pour la comédie. Dès son plus jeune âge, il se passionne pour le théâtre et intègre les cours d'art dramatique locaux pour développer son jeu.

Sa carrière au cinéma démarre sur les chapeaux de roue à la fin des années 2010. Il se fait remarquer dans le film de crocodile tueur Crawl mis en scène par Alexandre Aja, puis enchaîne avec le drame poignant Blackbird aux côtés de Kate Winslet. Sa capacité à incarner des personnages complexes lui ouvre les portes de productions d'envergure, comme le film de guerre 1917.

A la télévision, Anson décroche des rôles marquants qui confirment toute l'étendue de son talent. Après des apparitions remarquées dans des séries britanniques réputées comme Shadowplay, il accède à une reconnaissance internationale majeures grâce à la mini-série Pistol signée Danny Boyle. Puis, il est choisi pour jouer le petit-fils incontrôlable du gangster Pierce Brosnan dans la série criminelle Mobland.

Parallèlement, le jeune comédien continue de s'imposer sur le grand écran avec des projets exigeants comme le drame indépendant The Good Boy (2026), où il campe un voyou séquestré.