De père américain et de mère islandaise, Solveig Anspach suit une formation en philosophie et en psychologie clinique, avant d'intégrer la FEMIS. Elle en sort diplômée en 1989, avec à son actif quelques courts métrages dont Par amour et Les Iles Vestmanneyjar, tourné sur son lieu de naissance. Après avoir réalisé plusieurs courts-métrages documentaires centrés entre 1983 et 1993 sur une même jeune femme Sandrine, elle passe à la fiction avec Vizir et vizirette en 1993.

Grand Prix du Jury et du Public au Festival international du Film de Femmes de Créteil avec Que personne ne bouge, elle connaît un franc succès avec son premier long-métrage Haut les coeurs ! en 1999, qui retrace son expérience de la maladie et vaut à Karin Viard d'obtenir le César 2000 de la meilleure actrice.

Par la suite, Solveig Anspach continue de faire des allers-retours entre documentaire (Made in the USA, film sur la peine de mort en 2001), et fiction (Stormy Weather, avec Elodie Bouchez, en 2003). Après Reykjavik, des elfes dans la ville en 2001, elle tourne à nouveau dans son pays, l'Islande, avec Back Soon en 2008. Inspirée par les femmes militantes, elle décide l'année d'après de retracer la vie de la communarde Louise Michel, déportée en Nouvelle-Calédonie avec des milliers de révolutionnaires, dans Louise Michel la rebelle (2010), un long-métrage avec Sylvie Testud.

En 2014, elle retrouve Karin Viard pour Lulu femme nue, l'émouvant portrait d'une femme rompant avec sa vie morne pour explorer de nouveaux horizons. Avec cette adaptation d'une bande-dessinée d'Etienne Davodeau, Solveig Anspach renoue avec la veine sensible qui l'avait révélé au grand public au début des années 2000.

En 2015, la cinéaste succombe malheureusement à une récidive de son cancer, maladie contre laquelle elle avait déjà dû lutter il y a plusieurs années. Son dernier film, L'Effet aquatique, raconte l'histoire de Samir, la quarantaine dégingandée, grutier à Montreuil. Il tombe raide dingue d’Agathe, maître-nageuse à la piscine Maurice Thorez. Il décide, pour s’en approcher, de prendre des leçons de natation avec elle, alors qu’il sait parfaitement nager. Le long-métrage sort en salles le 29 juin 2016, près d'un an après la mort de sa réalisatrice.