Fils d'immigrants italiens, Robert Enrico passe toute sa jeunesse à Toulon avant d'entrer à l'IDHEC. Dans les années 50, il participe aux activités du Groupe Médiéval de la Sorbonne et réalise quelques reportages pour la télévision. Il entre dans le milieu du cinéma en devenant monteur puis assistant-réalisateur de plusieurs courts et moyens métrages industriels.

Après Jehanne, court métrage remarqué au Festival de Venise 1956, il coréalise en 1957 A chacun son paradis avec Luciano Emmer, mais son rôle est en fait seulement celui d'un technicien. Il connaît un incroyable succès dès 1961 grâce au court métrage La Rivière du hibou qui fait le tour du monde. Son premier véritable long, après Au coeur de la vie (1962), réunion de trois de ses courts métrages, est La Belle Vie (1963), film sur la Guerre d'Algérie, qui obtient le prix Jean Vigo.

C'est Lino Ventura qui lui apporte ses deux premiers grands succès commerciaux, d'abord avec Bourvil dans Les Grandes gueules (1965), puis avec Brigitte Bardot dans Boulevard du rhum (1971). Mais c'est Le Vieux Fusil, qui obtient en 1976 le tout premier César de l'histoire, qui l'impose définitivement aux yeux du grand public. Ce qui n'empêche pas deux ans plus tard l'interruption en plein tournage de Coup de foudre, avec Philippe Noiret et Catherine Deneuve. Malgré ce coup dur, il enchaîne directement avec Un neveu silencieux, téléfilm diffusé dans Les dossiers de l'écran qui sortira deux ans plus tard en salle (chose très rare à l'époque pour une production de la télévision française).

Après plusieurs adaptations littéraires (Au nom de tous les miens (1983), d'après Martin Gray, qui sera également adapté pour la télévision en huit épisodes de 55 minutes, ou De guerre lasse (1987) d'après Didier Decoin), il se voit confier la mise en scène de La Révolution française, film "officiel" du bicentenaire.

Dans les années 90, il ne tournera plus que deux films : Vent d'est (1991), avec Malcolm McDowell et Jean-Francois Balmer, et Fait d'hiver, son dernier film, avec Charles Berling, tourné sur les mêmes lieux que Le Vieux fusil.