Anthony Bajon fait ses premières armes de comédien sous la direction de Léa Fehner dans Les Ogres, sortie en 2016. Le jeune homme enchaîne ensuite les petits rôles dans Maryline de Guillaume Gallienne et Rodin de Jacques Doillon. Dans ce dernier film, il incarne Auguster Beuret, le fils du sculpteur Rodin campé par Vincent Lindon.

En 2018, Anthony accède à la consécration avec le rôle de Thomas dans La Prière de Cédric Kahn. Pour sortir de la dépendance, Thomas rejoint une communauté isolée dans la montagne tenue par d’anciens drogués qui se soignent par la prière. Il va y découvrir l’amitié, la règle, le travail, l’amour et la foi. Sa performance est récompensée par l'Ours d'argent du meilleur acteur à la Berlinale 2018 et une nomination au César du meilleur espoir masculin 2019. 

Courtisé par le cinéma français, on le voit dans la comédie politique de Jeanne Balibar, Merveilles à Montfermeil, et en prétendant d'Hafsia Herzi dans Tu mérites un amour. Il décroche une deuxième nomination au César du meilleur espoir en 2020 pour sa prestation dans Au nom de la terre, un drame sur le monde agricole inspiré de la propre histoire du réalisateur. Anthony Bajon y est le fils de Guillaume Canet, un paysan endetté qui sombre peu à peu.

Il poursuit en jouant le rôle-titre de Teddy, conte fantastique réinventant le mythe du loup-garou, et incarne le personnage principal de La Troisième guerre, drame sur trois militaires déployés dans le cadre de l'opération Sentinelle. Preuve qu'il est aussi à l'aise dans la comédie pure, Anthony campe Carcéral, un rappeur sorti de prison, dans la satire Les Méchants. Variant les genres, il goûte au film d'époque avec Une jeune fille qui va bien de Sandrine Kiberlain, qui se déroule en 1942 à Paris.

Anthony retrouve cette dernière dans Un autre monde de Stéphane Brizé, où sa prestation d'un jeune souffrant de sérieux troubles psychiques est saluée. On le voit ensuite dans Athena, centré sur une émeute de banlieue violente, puis Chien de la casse où il se retrouve sous l'emprise de Raphaël Quenard et enfin Le Dossier Maldoror dans lequel il campe un policier prêt à tout pour résoudre une affaire de pédophilie. Parallèlement, il campe le célèbre rappeur Kool Shen dans la mini-série Le Monde de demain.

Il attaque 2026 en jouant face à Pierre Niney dans Gourou de Yann Gozlan.