Né d'un père qui travaille dans le bâti­ment et d'une mère éducatrice spécialisée, Damien Bonnard grandit en Bourgogne et quitte le lycée à 16 ans. Voulant devenir comédien, il intègre l’École des Beaux-arts de Nîmes et voyage beaucoup, notamment en Algérie et au Canada. Il choisit néanmoins de s'installer à Paris et enchaîne castings et petits boulots.

Damien apparaît dans plusieurs courts et longs métrages. Il est employé de cabaret dans Hors la loi (2010), loubard dans Le Bruit des glaçons (id.), passager de l'avion dans Low Cost (2010), second fils Dumonteux dans Augustine (2012), Romain du Lonely Planet dans Un plan parfait (2012), entraîneur de trampoline dans La Pièce manquante (2013), ouvrier dans La Résistance de l'air (2015) ou Lieutenant de l'armée dans Voir du pays (2016).

Les choses évoluent de manière radicale pour lui lorsqu'il est choisi pour jouer le rôle principal de Rester vertical, présenté en sélection officielle au Festival de Cannes 2016. Dans ce film étrange mis en scène par Alain Guiraudie, Damien Bonnard joue Léo, un homme pauvre qui se retrouve avec un bébé sur les bras dans la campagne profonde.

Fort de ce succès, le comédien trouve des rôles plus importants, à l'image de Ben dans la série militaire Loin de chez nous, de Kurtz dans l'envoûtant thriller 9 doigts et surtout de Jérôme dans C'est qui cette fille ?, un thriller psychologique doublé d'une "anti-comédie romantique" qui témoigne de son goût pour les projets originaux. Damien Bonnard campe aussi un soldat français dans Dunkerque de Christopher Nolan.

A l'affiche de deux films de Roman Polanski (D'après une histoire vraie et J'accuse), le natif d'Alès joue des personnages secondaires dans Sauver ou périr et Blanche comme neige. Il trouve un rôle plus conséquent en 2019 dans Seules les bêtes (celui d'un paysan dépressif) et surtout Les Misérables. Dans ce film choc sur la banlieue, il incarne la nouvelle recrue intègre d'une brigade de la BAC patrouillant dans une cité de Montfermeil.

Preuve que les rôles difficiles sont faits pour lui, Damien campe un artiste atteint de bipolarité dans le drame Les Intranquilles de Joachim Lafosse. Privilégiant le drame, on le voit dans Le Sixième enfant, Le Processus de paix, Une affaire d'honneur et Le Bonheur est pour demain. Il prend également part aux productions internationales Asteroid City et Pauvres Créatures, ainsi qu'au biopic Niki et à la la comédie dramatique Trois amies d'Emmanuel Mouret.

Début 2025, Damien Bonnard retrouve Jeanne Balibar dans Le Système Victoria, où il incarne un chef de chantier qui est séduit par l'ambitieuse DRH d’une multinationale.